Entscheidungstheorie Klausur 2/2007 (Uni Köln)

Hinweise:

Die Aufgaben zur o.g. Klausur befinden sich auf der Klausuren-CD der Wiso Fachschaft.
Es handelt sich hierbei nicht um die Musterlösung, sondern um eine individuelle Ausarbeitung!

Inhaltsverzeichnis

1 Lösung zu Aufgabe 1
2 Lösung zu Aufgabe 2 (Bandbreiteneffekt)
3 Lösung zu Aufgabe 3 (Umsatz)
4 Lösung zu Aufgabe 4 (Dominanztest)
5 Lösung zu Aufgabe 5 (Multiple Choice)

Lösung zu Aufgabe 1

i) (300 €, 60 l) ~ (500 €, 50 l)
ii) (50 l, 5 kg) ~ (60 l, 6 kg)

aus i):
$w_1 \cdot v_1(300) + w_2 \cdot v_2(60) = w_1 \cdot v_1(500) + w_2 \cdot v_2(50)$
$w_1 \cdot {700-300 \over 700-300} + w_2 \cdot {70-60 \over 70-40} = w_1 \cdot {700-500 \over 700-300} + w_2 \cdot {70-50 \over 70-40}$
$w_1 + {1 \over 3}w_2 = {1 \over 2}w_1 + {2 \over 3}w_2$
${1 \over 2}w_1 = {1 \over 3}w_2 \Leftrightarrow w_1 = {2 \over 3}w_2$

aus ii):
$w_2 \cdot v_2(50) + w_3 \cdot v_3(5) = w_2 \cdot v_2(60) + w_3 \cdot v_3(6)$
$w_2 \cdot {2 \over 3} + w_3 \cdot {4-5 \over 4-7} = w_2 \cdot {1 \over 3} + w_3 \cdot {4-6 \over 4-7}$
${2 \over 3}w_2 + {1 \over 3}w_3 = {1 \over 3}w_2 + {2 \over 3}w_3$
${1 \over 3}w_2 = {1 \over 3}w_3 \Leftrightarrow w_3 = w_2$

iii) w_1 + w_2 + w_3 = 1

i) und ii) in iii):
${2 \over 3}w_2 + w_2 + w_2 = 1$
$w_2 = 0{,}375 = {3 \over 8} = w_3$
$w_1 = {2 \over 3} \cdot {3 \over 8} = {1 \over 4}$

Gewichte: $w_1 = {1 \over 4}, w_2 = {3 \over 8}, w_3 = {3 \over 8}$

	$\mathbf{x_1}$	$\mathbf{v_1(x_1)}$	$\mathbf{x_2}$	$\mathbf{v_2(x_2)}$	$\mathbf{x_3}$	$\mathbf{v_3(x_3)}$
A	300	1	70	0	4	0
B	450	${5 \over 8}$	50	${2 \over 3}$	5	${1 \over 3}$
C	700	0	40	1	7	1

$x_1 = \left[ 300, 700 \right] Euro, x_2 = \left[ 40, 70 \right] l, x_3 = \left[ 4, 7 \right] kg$

$\operatorname{OG}$ : Obergrenze
$\operatorname{UG}$ : Untergrenze

$v_1(x_1) = {\operatorname{wertl. UG} - x_1 \over \operatorname{wertl. UG} - \operatorname{wertl. OG} }$

$w_1 = {1 \over 4}, w_2 = {3 \over 8}, w_3 = {3 \over 8}$

$v(A) = {1 \over 4} \cdot 1 = {1 \over 4} = 0{,}25$
$v(B) = {5 \over 8} \cdot {1 \over 4} + {2 \over 3} \cdot {3 \over 8} + {1 \over 3} \cdot {3 \over 8} = {17 \over 32} = 0{,}53125$
$v(C) = 1 \cdot {3 \over 8} + 1 \cdot {3 \over 8} = {3 \over 4} = 0{,}75$

Antwort: Man sollte sich für Maschine C entscheiden!

Lösung zu Aufgabe 2 (Bandbreiteneffekt)

$\operatorname{OG}$ : Obergrenze
$\operatorname{UG}$ : Untergrenze

Gehalt x_1 : [30.000, 70.000] €; $w_1 = 0{,}6$
Entfernung x_2 : [0, 40] km; $w_2 = 0{,}4$

$m = {\operatorname{OG_{neu}} - \operatorname{UG_{neu}} \over \operatorname{OG_{alt}} - \operatorname{UG_{alt}}}$
$m = {60-0 \over 40-0} = {3 \over 2}$

$w_r' = {m \cdot w_r \over m \cdot w_r + (1-w_r) }$
$w_2' = { {3 \over 2} \cdot 0{,}4 \over {3 \over 2} \cdot 0{,}4 + (1-0{,}4) } = 0{,}5$

$w_j' = {w_j \over m \cdot w_r + (1-w_r) }$
$w_1' = { 0{,}6 \over {3 \over 2} \cdot 0{,}4 + (1-0{,}4) } = 0{,}5$

Antwort: Die Gewichte sind w_1 = 0,5 und w_2 = 0,5

Lösung zu Aufgabe 3 (Umsatz)

p(x) : Wahrscheinlichkeit
P(x) : Verteilungsfunktion
1-P(x) : Risikoprofil

A	60.000	70.000	75.000	85.000
	0,1	0,25	0,4	0,25
	0,1	0,35	0,75	1
	0,9	0,65	0,25	0

B	72.000	75.000	80.000	88.000
	0,2	0,15	0,3	0,35
	0,2	0,35	0,65	1
	0,8	0,65	0,35	0

Antwort: B dominiert A stochastisch!

Lösung zu Aufgabe 4 (Dominanztest)

Paarweiser Dominanztest

: Erwartungswert

1. Dominiert B A ?

$Min \left[ EW(B) - EW(A) \right] > 0$ ?
$Min \left[ p(s_1) \cdot (-0{,}2) + p(s_2) \cdot 0{,}1 + p(s_3) \cdot 0{,}2 \right]$
$Min \left[ 0{,}3 \cdot (-0{,}2) + 0{,}4 \cdot 0{,}1 + 0{,}3 \cdot 0{,}2 \right]$
$\sum p(s_i) = 1$
$Min \left[ -0{,}06 + 0{,}04 + 0{,}06 \right] = 0{,}04 > 0$

Antwort: B dominiert A!

2. Dominiert B C ?

$Min \left[ EW(B) - EW(C) \right] > 0$ ?
$Min \left[ p(s_1) \cdot 0{,}1 + p(s_2) \cdot 0{,}1 + p(s_3) \cdot 0{,}1 \right]$
$Min \left[ 0{,}1 \cdot 0{,}1 + 0{,}4 \cdot 0{,}1 + 0{,}3 \cdot 0{,}1 \right]$
$\sum p(s_i) = 0{,}8 < 1$
$Min \left[ 0{,}3 \cdot 0{,}1 + 0{,}4 \cdot 0{,}1 + 0{,}3 \cdot 0{,}1 \right] = 0{,}1 > 0$

Antwort: B dominiert C!

3. Dominiert B D ?

$Min \left[ EW(B) - EW(D) \right] > 0$ ?
$Min \left[ p(s_1) \cdot (-0{,}5) + p(s_2) \cdot (-0{,}1) + p(s_3) \cdot 0{,}7 \right]$
$Min \left[ 0{,}3 \cdot (-0{,}5) + 0{,}5 \cdot (-0{,}1) + 0{,}3 \cdot 0{,}7 \right]$
$\sum p(s_i) = 1,1 > 1$
$Min \left[ 0{,}3 \cdot (-0{,}5) + 0{,}4 \cdot (-0{,}1) + 0{,}3 \cdot 0{,}7 \right] = 0{,}02 > 0$