Empirical Finance (CF IV) Klausur 2/2008 (2. Termin) (Uni Köln)

Es handelt sich hierbei nicht um die Musterlösung, sondern um eine individuelle Ausarbeitung!

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe 1 (30 Punkte, Rechnerischer Teil)
2 Aufgabe 2 (30 Punkte, Theoretischer Teil)

Aufgabe 1 (30 Punkte, Rechnerischer Teil)

Im Rahmen einer M&A-Transaktion werden Sie um eine indikative Bewertung des Modeunternehmens Guschi gebeten. Sie wissen dass Guschi einen P/E-Multiplikator von 10,7 hat und Analysten eine Wachstumsrate von 3.5% vorhersagen. Ihre Research-Abteilung hat die Firmen in Guschis Peer-Gruppe identifiziert und hierfür folgende Kennzahlen ermittelt (Stand September 2008):

Unternehmen	P/E-Multi.	Wachstum
Eskapada	15,2	5,5
Scheff	5,3	1,5
Markobrolo	13,1	4,9
Kanal	18,1	9,4
Gödderbote	14,3	5,7

a) Mittelwert und Median (6 Punkte)

Ermitteln Sie Mittelwert und Median des P/E-Multiplikatiors für die obige Peer-Gruppe. Welche Schlussfolgerungen können Sie hieraus ziehen?

Lösung zu a)

y = P/E-Multi.

Mittelwert: $\bar y = {1 \over N} \cdot \sum_{i=1}^N y_i$

$\bar y = {1 \over 5}\cdot(15,2+5,3+13,1+18,1+14,3) = {1 \over 5}\cdot66 = 13,2$

Median: $\tilde y = y_i$ , wobei 50% größer und 50% kleiner als y_i sind

sortierte Folge: $y_i = (5{,}3; 13{,}1; 14{,}3; 15{,}2; 18{,}2)$
hier: N=5 , also $\tilde y = y_3 = 14{,}3$

Schlussfolgerung:
Da $\bar y \approx \tilde y$ , also relativ nahe beieinander liegen, liegt keine nennenswerte Schiefe der Kurve vor. D.h. es gibt keine Ausreißer in der Stichprobe.

b) OLS-Schätzer (6 Punkte)

Geben Sie eine formale Darstellung zur Ermittlung des Koeffizientenvektors $\beta$ in Matrixnotation an und ermitteln Sie die Koeffizienten der folg. Regression:

$P/E-Multi. = \beta_0 + \beta_1 \cdot Wachstum$

Hinweis: $(X'X)^{-1} = \begin{pmatrix} 1{,}1240 & -0{,}1711 \\ -0{,}1711 & 0{,}0317 \end{pmatrix}$

Lösung zu b)

Koeffizientenvektor $\beta$ in Matrixnotation: $\hat \beta = (X'X)^{-1} \cdot X'y$

Regressionsgleichung: $\hat y_i = \hat \beta_0 + \hat \beta_1 \cdot x_i$

$\hat \beta = \begin{pmatrix} 1{,}1240 & -0{,}1711 \\ -0{,}1711 & 0{,}0317 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5{,}5 & 1{,}5 & 4{,}9 & 9{,}4 & 5{,}7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15{,}2 \\ 5{,}3 \\ 13{,}1 \\ 18{,}1 \\ 14{,}3 \end{pmatrix}$

$\hat \beta = \begin{pmatrix} 1{,}1240 & -0{,}1711 \\ -0{,}1711 & 0{,}0317 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 66 \\ 407{,}39 \end{pmatrix}$

$\hat \beta = \begin{pmatrix} 4{,}4796 \\ 1{,}6217 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hat \beta_0 \\ \hat \beta_1 \end{pmatrix}$

$P/E-Multi. = 4{,}4796 + 1{,}6217 \cdot Wachstum$

c) Unternehmensbewertung (4 Punkte)

Ihr Kollege ist davon überzeugt, dass Guschi stark unterbewertet ist. Diskutieren Sie auf der Basis Ihrer Berechnungen in a) und b) kurz diese Aussage!

Lösung zu c)

$\hat y_i = \hat \beta_0 + \hat \beta_1 \cdot x_i$

$\hat y_i = 4{,}4796 + 1{,}6217 \cdot 3{,}5 = 10{,}16$

$\Rightarrow$ Eine Wachstumsrate von 3,5 % bei Guschi ergibt ein P/E-Multi. von 10,16. Wir wissen, dass Guschi einen P/E-Multi. von 10,7 hat.
Residuum: $\hat u_i = y_i - \hat y_i$

$\hat u_{Guschi} = 10{,}7 - 10{,}16 = 0{,}54$

$\hat u_i > 0$ : überbewertet
$\hat u_i < 0$ : unterbewertet
$\Rightarrow$ Da $\hat u_{Guschi} = 0{,}54 > 0$ ist Guschi überbewertet.

d) t-Statistik (10 Punkte)

Geben Sie eine formale Darstellung eines unverzerrten Schätzers der Residualvarianz ( $\sigma^2$ ) an und berechnen Sie die t-Statistik für die in b) geschätzten Koeffizienten.

Lösung zu d)

Schätzers der Residualvarianz: $\hat \sigma^2 = {1 \over N-K} \cdot \sum_{i=1}^N \hat u_i^2 = {1 \over N-K} \cdot \hat u' \hat u$

t-Statistik: $t = {\hat \beta - \beta^0 \over s.e.(\hat \beta)}$

Standardfehler: $s.e.(\hat \beta) = \sqrt{Var(\hat \beta)}$

$Var(\hat \beta^*) = Cov(\hat \alpha^*, \hat \beta^*) = \hat \sigma^2 \cdot (X'X)^{-1} = \begin{pmatrix} Var(\hat \alpha) & Cov(\hat \alpha, \hat \beta) \\ Cov(\hat \alpha, \hat \beta) & Var(\hat \beta) \end{pmatrix}$

$\hat u' \hat u = y'y - \beta' \cdot X'y = \sum_{i=1}^N y_i^2 - \beta' \cdot \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^N y_i \\ \sum_{i=1}^N x_i y_i \end{pmatrix}$

$\hat u' \hat u = 962{,}84 - (4{,}4796 \quad 1{,}6217) \cdot \begin{pmatrix} 66 \\ 407{,}39 \end{pmatrix}$

$\hat u' \hat u = 962{,}84 - 956{,}318 = 6{,}522$

$\hat \sigma^2 = {1 \over 5-2} \cdot 6{,}522 = 2{,}174$

$Var(\hat \beta^*) = 2{,}174 \cdot \begin{pmatrix} 1{,}1240 & -0{,}1711 \\ -0{,}1711 & 0{,}0317 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}4436 & -0{,}372 \\ -0{,}372 & 0{,}0689 \end{pmatrix}$

$s.e.(\hat \beta_0) = \sqrt{Var(\hat \beta_0)} = \sqrt{2{,}4436} = 1{,}5632$

$s.e.(\hat \beta_1) = \sqrt{Var(\hat \beta_1)} = \sqrt{0{,}0689} = 0{,}2625$

$t_{\hat \beta_0} = {\hat \beta_0 - \beta^0 \over s.e.(\hat \beta_0)} = {4{,}4796 - 0 \over 1{,}5632} = 2{,}8657$

$t_{\hat \beta_1} = {\hat \beta_1 - \beta^0 \over s.e.(\hat \beta_1)} = {1{,}6217 - 0 \over 0{,}2625} = 6{,}1779$

e) Signifikanzniveaus (4 Punkte)

Sind die geschätzten Koeffizienten signifikant zum 1%-, 5%-, oder 10%-Niveau?

(Hinweis: T-Verteilungstabelle am Ende der Klausur bzw. im Anhang)

Lösung zu e)

Annahme: zweiseitiger Test $\Rightarrow t_{N-K;\;\alpha/2}$

1%-Signifikanzniveau

$t_{5-2;\;0{,}01/2} = t_{3;\;0{,}005} = 5{,}841$

$\hat \beta_0$ auf 1%-Niveau nicht signifikant, da $\left| t_{\hat \beta_0} \right| = 2{,}8657 < 5{,}841$

$\hat \beta_1$ auf 1%-Niveau signifikant, da $\left| t_{\hat \beta_1} \right| = 6{,}1779 > 5{,}841$
Somit ist $\hat \beta_1$ auch auf 5%- und 10%-Niveau signifikant!

5%-Signifikanzniveau

$t_{5-2;\;0{,}05/2} = t_{3;\;0{,}025} = 3{,}182$

$\hat \beta_0$ auf 5%-Niveau nicht signifikant, da $\left| t_{\hat \beta_0} \right| = 2{,}8657 < 3{,}182$

$\hat \beta_1$ auf 5%-Niveau signifikant, da $\left| t_{\hat \beta_1} \right| = 6{,}1779 > 3{,}182$

10%-Signifikanzniveau

$t_{5-2;\;0{,}1/2} = t_{3;\;0{,}05} = 2{,}353$

$\hat \beta_0$ auf 10%-Niveau signifikant, da $\left| t_{\hat \beta_0} \right| = 2{,}8657 > 2{,}353$

$\hat \beta_1$ auf 10%-Niveau signifikant, da $\left| t_{\hat \beta_1} \right| = 6{,}1779 > 2{,}353$

Aufgabe 2 (30 Punkte, Theoretischer Teil)

a) Fehlertypen (5 Punkte)

Erklären Sie kurz den Unterschied zwischen einem Typ-I- und einem Typ-II-Fehler.

Lösung zu a)

Typ-I-Fehler
Wenn die Nullhypothese ( H_0 ) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist.
Meistens testet man ein Signifikanzniveau von $\alpha = 5%$ . Die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie wahr ist, liegt hier dann bei 5%.

Typ-II-Fehler
Wenn die Nullhypothese ( H_0 ) nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist nicht berechenbar.

b) Heteroskedastizität/OLS (4 Punkte)

Was versteht man unter Heteroskedastizität? Beeinflusst diese in irgendeiner Weise OLS Schätzwerte?

Lösung zu b)

Heteroskedastizität bezeichnet die unterschiedliche Streuung innerhalb einer Datenmessung, d.h. die Varianzen der Residuen sind alle signifikant unterschiedlich. Wenn die Varianzen der Residuen alle gleich sind, herrscht Homoskedastizität.

Bei Heteroskedastizität führt die Methode der kleinsten Quadrate (OLS) nicht mehr zu effizienten Schätzwerten für die Regressionskoeffizienten. D.h., dass die Schätzwerte nicht mehr die kleinstmögliche Varianz aufweisen.
$\Rightarrow$ OLS-Schätzer nicht mehr BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Er ist zwar noch unverzerrt und konsistent, aber relativ ineffizient.

c) Heteroskedastizität/Praxis (6 Punkte)

Beschreiben Sie kurz drei Möglichkeiten mit Heteroskedastizität in der Praxis umzugehen.

Lösung zu c)

Weiterhin den OLS-Schätzer verwenden, aber ein anderes Verfahren zur Schätzung der Standardfehler nehmen, bei dem die Standardfehler widerstandsfähig gegen Heteroskedastizität sind.
Alternativen Schätzer verwenden. Z.B. FGLS (Feasible Generalized Least Squares). FGLS ist effizienter, aber nicht unbedingt unverzerrt.
Das eigene Modell überprüfen, ob es richtig spezifiziert wurde.

d) Autokorrelation (5 Punkte)

Was versteht man unter Autokorrelation in den Residuen? Führt diese zu einer Verletzung der Gauss-Markov-Annahmen? Stellt Autokorrelation ein Problem für OLS-Schätzer dar?

Lösung zu d)

Autokorrelation tritt bei Zeitreihendaten auf. Wenn zwischen den Gliedern einer Folge von Zufallsvariablen (Residuen) eine Beziehung besteht, die signifikant von Null abweicht, dann sind die Glieder der Folge autokorreliert.
Die Annahme (A2) von Gauss-Markov, dass die zufälligen Fehler alle die gleiche Varianz haben, gilt nicht mehr.
Die OLS-Schätzung liefert zwar noch unverzerrte und konsistente Schätzwerte der Regressionskoeffizienten, die entsprechenden Standardabweichungen sind aber verzerrt. Somit ist die Schätzung ineffizient.

e) Test für Autokorrelation (5 Punkte)

Erklären Sie stichpunktartig einen Test für Autokorrelation in den Residuen. (Hinweis: Keine formale Darstellung notwendig!)

Lösung zu e)

Mit Hilfe des Durbin-Watson (DW)-Tests kann man die Autokorrelation 1. Ordnung ermitteln, d.h. die Korrelation zwischen zwei aufeinanderfolgenden Residualgrößen.

Nullhypothese aufstellen: $H_0: \rho = 0$ , d.h. es liegt keine Autokorrelation vor.
Gegenhypothese aufstellen: $H_1: \rho \not= 0$ , d.h. es liegt Autokorrelation vor.
Wenn DW-Wert sehr klein (), dann liegt positive Autokorrelation vor.
Wenn DW-Wert sehr groß (), dann liegt negative Autokorrelation vor.
Wenn DW-Wert sehr groß (), dann liegt keine Autokorrelation vor.
$DW \approx 2-2 \hat \rho,\qquad 0 \le DW \le 4$